抛物线是二次函数的图像，其标准方程为：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

其中，\（ a \）、\（ b \）、\（ c \） 是常数，且 \（ a

eq 0 \）。

抛物线的性质

开口方向

当 \（ a > 0 \） 时，抛物线开口向上。

当 \（ a < 0 \） 时，抛物线开口向下。

对称轴

对称轴的方程是 \（ x = -\frac{b}{2a} \）。

顶点坐标

顶点坐标为 \（ \left（ -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right） \）。

与x轴的交点

抛物线与x轴的交点即方程 \（ ax^2 + bx + c = 0 \） 的根。

交点个数取决于判别式 \（ \Delta = b^2 - 4ac \）：

当 \（ \Delta > 0 \） 时，有两个交点。

当 \（ \Delta = 0 \） 时，有一个交点。

当 \（ \Delta < 0 \） 时，无交点。

焦点和准线

对于抛物线 \（ y^2 = 2px \），焦点坐标为 \（ \left（ \frac{p}{2}, 0 \right） \），准线方程为 \（ x = -\frac{p}{2} \）。

离心率

抛物线的离心率 \（ e = 1 \）。

抛物线的标准方程形式

一般式

\[ y = ax^2 + bx + c \]

顶点式

\[ y = a（x - h）^2 + k \]

其中，\（ （h, k） \） 是顶点坐标。

交点式（两根式）

\[ y = a（x - x_1）（x - x_2） \]

其中，\（ x_1 \） 和 \（ x_2 \） 是抛物线与x轴的交点。

抛物线的应用

抛物线在几何光学、力学等领域有重要应用，例如反射望远镜的镜面、投掷和击打轨迹等。

通过这些公式和性质，我们可以更好地理解和分析抛物线的图像和特性。