关于x趋于无穷时函数极限的定义法证明，综合相关数学分析知识，主要包含以下要点：

一、极限的直观定义

当$x \to \infty$时，若函数$f（x）$的极限为$A$，则直观上表现为：当$|x|$足够大时，$f（x）$与$A$的距离可以任意小，即

$$

\lim_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, \text{当} |x| > N \text{时}, |f(x) - A| < \varepsilon

$$

二、极限保号性的证明（以$\lim_{x \to \infty} f（x） = A > 0$为例）

假设与目标

假设$\lim_{x \to \infty} f（x） = A > 0$，需证明当$|x|$足够大时，$f（x） > 0$。

选择$\varepsilon$

取$\varepsilon = \frac{A}{2}$，根据极限定义，存在$N > 0$，当$|x| > N$时，有

$$

|f(x) - A| < \frac{A}{2}

$$

推导结论

由不等式可得

$$

A - \frac{A}{2} < f(x) < A + \frac{A}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} < f(x) < \frac{3A}{2}

$$

因此，当$|x| > N$时，$f（x） > 0$，即极限的保号性得证。

三、其他常见性质证明方法

极限的四则运算法则

若$\lim_{x \to \infty} f（x） = A$，$\lim_{x \to \infty} g（x） = B$，则

$$

\lim_{x \to \infty} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B, \quad \lim_{x \to \infty} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B

$$

证明时需分别验证左右极限。

无穷小与渐近线

若$\lim_{x \to \infty} \frac{f（x）}{g（x）} = 1$，则$y = g（x）$是$f（x）$的斜渐近线；

若存在常数$g（x）$，使得$\lim_{x \to \infty} \frac{f（x）}{g（x）} = C \neq 0$，则$f（x） = O（g（x））$。

四、反例说明

例如$\lim_{x \to \infty} \sin x$不存在。取数列$x_n = n\pi$和$y_n = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$，则

$$

\lim_{n \to \infty} \sin x_n = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \sin y_n = 1

$$

但$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$，矛盾。根据海涅定理，若函数在某点存在极限，则沿任意序列趋近该点的极限值相同。

总结

极限的定义法证明需严格使用$\varepsilon-N$语言，通过构造适当数列或不等式验证。保号性等性质可通过直观定义直接推导，而复杂函数性质（如洛必达法则、等价无穷小）需结合其他工具。