《八月十五日夜湓亭望月》是唐代诗人白居易创作的一首七言律诗，根据诗的内容和背景，可以推断出诗人的故乡在 山西太原。

诗中通过“昔年八月十五夜，曲江池畔杏园边”和“今年八月十五夜，湓浦沙头水馆前”的对比，展现了诗人从繁华的曲江池畔到偏僻的湓浦沙头的生活变迁。同时，通过“西北望乡何处是，东南见月几回圆”的诗句，表达了诗人对家乡的深深眷恋和无法回归的无奈。

因此，结合诗的内容和背景，可以确定诗人的故乡在山西太原。