抛物线的形心位置可以通过积分法或者对称性来求解。

对称性法

对于开口向上的抛物线 $y = ax^2 + bx + c$，其形心位于顶点处。顶点的横坐标由公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 给出，纵坐标可以通过将 $x = -\frac{b}{2a}$ 代入原方程求得，结果为 $y = \frac{4ac - b^2}{4a}$。因此，对于开口向上的抛物线，形心坐标为 $\left（-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right）$。对于开口向下的抛物线，形心坐标则为 $\left（-\frac{b}{2a}, -\frac{4ac - b^2}{4a}\right）$。

积分法

另一种求形心的方法是使用积分。对于二次抛物线 $y = ax^2 + bx$，可以通过积分计算形心坐标。首先，确定抛物线与x轴的交点，即解方程 $ax^2 + bx = 0$ 得到 $x = 0$ 或 $x = -\frac{b}{a}$。然后，通过积分计算形心坐标。对于Y轴方向的形心坐标，需要对函数 $y = ax^2 + bx$ 在区间 $[0, -\frac{b}{a}]$ 上进行积分，然后除以面积得到形心的Y坐标。

结论

抛物线的形心位置取决于抛物线的开口方向。对于开口向上的抛物线，形心位于顶点 $\left（-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right）$；对于开口向下的抛物线，形心位于顶点 $\left（-\frac{b}{2a}, -\frac{4ac - b^2}{4a}\right）$。这些结论可以通过对称性直接得出，也可以通过积分法验证。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算形心位置。