无界和无穷大是数学中描述无限概念的两个重要术语，它们在定义、性质和应用上有一些区别：

定义

无界：表示一个量或集合没有明确的界限或限制，可以无限增大或减小。在数学中，如果一个函数在某个区间内的值可以无限增大或减小，那么这个函数在该区间内是无界的。

无穷大：表示一个量在某个极限过程中无限增大，但没有具体的终点。在数学中，无穷大通常用符号“∞”表示，用于描述函数在自变量趋于某个具体数或无限大的过程中，函数值一直增加，没有一个数能始终大于该过程中的函数值。

性质

无界：无界变量或函数在某些区间内至少存在一个点，使得函数值大于任意给定的正数。无界可以是有界的，也可以是无界的，具体取决于函数在某个区间内的行为。

无穷大：无穷大是局部的，仅在某个极限过程中存在。例如，当x趋于无穷大时，函数值可能趋向于无穷大，但在这个过程中函数值仍然有等于0的点存在，因此不是整体趋于无穷大。

关系

无穷大一定是无界：如果一个函数在某个极限过程中趋向于无穷大，那么这个函数在该过程中一定是无界的。

无界不一定是无穷大：一个函数可能在某个区间内无界，但不一定在某个极限过程中趋向于无穷大。例如，函数f（x） = x * sinx在区间（0, 1）内无界，但不是无穷大，因为在这个区间内函数值始终有等于0的点存在。

总结：

无界强调的是没有明确的界限，而无穷大强调的是在某个极限过程中的无限增大趋势。

无界变量或函数在某些区间内至少存在一个点，使得函数值大于任意给定的正数，而无穷大则是在某个极限过程中整体趋势都非常大，但没有具体的终点。

无穷大一定是无界的，但无界不一定是无穷大。