求x的n次方的和函数，即求以下数列的和：

\[ S_n = x^1 + x^2 + x^3 + \cdots + x^n \]

这是一个等比数列，其公比为x，首项为x。当|x|<1时，该数列收敛，其和可以通过以下公式计算：

\[ S_n = \frac{x（1 - x^n）}{1 - x} \]

证明如下：

1. 设 \（ S_n = x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n \）

2. 两边同时乘以x：

\[ xS_n = x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^{n+1} \]

3. 将第二个等式减去第一个等式：

\[ xS_n - S_n = （x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^{n+1}） - （x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n） \]

\[ xS_n - S_n = x^{n+1} - x \]

4. 提取公因式S_n：

\[ S_n（x - 1） = x^{n+1} - x \]

5. 解出S_n：

\[ S_n = \frac{x^{n+1} - x}{x - 1} = \frac{x（x^n - 1）}{x - 1} = \frac{x（1 - x^n）}{1 - x} \]

因此，x的n次方的和函数为：

\[ S_n = \frac{x（1 - x^n）}{1 - x} \]

这个公式适用于|x|<1的情况。当x=1时，数列变为1+1+1+...+1（共n项），其和为n。当x=-1时，数列变为1-1+1-1+...+1（共n项），其和为0（当n为偶数）或-1（当n为奇数）。

总结：

当|x|<1时， \（ S_n = \frac{x（1 - x^n）}{1 - x} \）

当x=1时， \（ S_n = n \）

当x=-1时， \（ S_n = 0 \）（当n为偶数）或 \（ S_n = -1 \）（当n为奇数）