求和函数通常指的是一个序列的和的表达式。对于 $n \times x^n$ 的求和，我们可以使用求和符号 $\sum$ 来表示这个序列的和。假设我们有一个序列 $a_n = n \times x^n$，我们想要找到这个序列的和 $S（x）$。

$$S（x） = \sum_{n=1}^{\infty} n x^n$$

这个求和公式可以通过求导的方法来求解。首先，我们考虑一个更简单的序列 $g（x） = \sum_{n=1}^{\infty} x^n$，这是一个等比数列，其和可以表示为：

$$g（x） = \frac{x}{1 - x}$$

接下来，我们对 $g（x）$ 进行求导：

$$g'（x） = \frac{d}{dx} \left（ \frac{x}{1 - x} \right）$$

使用商的求导法则：

$$g'（x） = \frac{（1 - x） \cdot 1 - x \cdot （-1）}{（1 - x）^2} = \frac{1 - x + x}{（1 - x）^2} = \frac{1}{（1 - x）^2}$$

而 $g（x）$ 的导数正是我们想要的 $S（x）$：

$$S（x） = g'（x） = \frac{1}{（1 - x）^2}$$

因此，$n \times x^n$ 的求和函数为：

$$S（x） = \frac{1}{（1 - x）^2}$$

这个公式在 $|x| < 1$ 的范围内成立。

总结：

$$S（x） = \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{1}{（1 - x）^2}$$

这个公式适用于 $|x| < 1$ 的范围。