李逵杀死李鬼的原因主要是因为李鬼 冒充李逵拦路抢劫，并且李逵后来发现李鬼及其妻子设计毒杀自己。具体来说，李逵在回家探亲时，遇到了冒充自己的李鬼，李逵起初相信了李鬼的谎言，并给予了他一些银子。然而，李鬼并没有悔改，反而与其妻子设计毒杀李逵。最终，李逵在得知真相后，愤怒之下将李鬼杀死。

此外，李逵杀死李鬼的另一个原因是因为李鬼 坏了自己的名号。李逵非常在意自己的名声，认为李鬼的低劣手段会玷污自己的名号。因此，他毫不犹豫地杀死了李鬼。

综合以上原因，李逵杀死李鬼的主要原因是李鬼冒充自己进行抢劫，并且李逵发现李鬼及其妻子对自己怀有恶意，试图毒害自己。此外，李鬼的行为也触犯了李逵的底线，损害了他的名声。